シラバス参照

講義概要/Course Information

2024/05/04 現在

科目基礎情報/General Information

授業科目名 /Course title (Japanese)	幾何学特論（H27年度以前入学生）
英文授業科目名 /Course title (English)	Advanced Topics of Geometry
開講年度 /Academic year	2019年度	開講年次 /Year offered	全学年
開講学期 /Semester(s) offered	後学期	開講コース・課程 /Faculty offering the course	博士前期課程、博士後期課程
授業の方法 /Teaching method	講義	単位数 /Credits	2
科目区分 /Category	大学院教養教育科目
開講類・専攻 /Cluster/Department	全専攻
担当教員名 /Lecturer(s)	山田　裕一
居室 /Office	東1-507
公開E-mail /e-mail	yyyamada@e-one.uec.ac.jp
授業関連Webページ /Course website	http://www.yyyamada.e-one.uec.ac.jp/Lecture/19GeomB.html
更新日 /Last update	2019/02/28 13:55:36	更新状況 /Update status	公開中 /now open to public

講義情報/Course Description

主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters）	【主題】曲面や空間のゆがみを記述するリーマン計量について紹介する．現代的な幾何学は「多様体（manifolds）」の上で行なわれる．多様体の概念を簡単に説明すれば，座標が与えられて微分や積分を行うことのできる図形のこと と言えるだろう．この数学の発展を促進した 相対性理論 との関連を紹介する．この２つの理論が互いを必要として結びつき発展したこと, その内容と歴史を楽しんでほしいと思います． Main part is on "Riemanian metric", by which you can describe curved or distorted surfaces or "manifolds", mathematically. Manifold is a generalization of surface into higher-dimension, and is a main object in geometry. Differentials and integrals are generalized on manifolds. As the first and important application of metric is the theory of relativity in physics. You may hear "time-space is distorted". Metric and Relativity gave and took to each other in the history of science in the last century.   　１年次で学んだのは平坦な空間 R^n の微積分と線形代数に過ぎなかったのだ． After the lecture, you will find that the first grade calculus is nothing but those in just a flat, non-curved space R^n. 【達成目標】 　[計量] リーマン計量を実感し, 計量を用いて曲線の長さを測る計算法を理解する. 　[相対性理論] 等速度・等加速度 での運動と時間の関わりを理解する. 　[両者の関連] 測地線 "まっすぐ" の定義を理解する. [Metric] Understand philosophy and the method of the concept "metric", and learn the method to measure the length of curves in the curved space. [Relativity] How is the time-space distorted under constant velocity movement, and constant acceleration movement? [Relation of them] The geodesic equation. What does "straight" mean in curved spaces.
前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters）	学部１年の時に学んだ「微分積分学」「線形代数学」「解析学」を復習しておいてほしい． Calculus, Linear algebra, Analysis
前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters）	「応用幾何学」「幾何学概論」を履修していると助けになる． "Applied geometry","Introduction to geometry" is helpful.
教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters）	プリントを用意して講義を進める. 参考書は講義の初回に数冊案内するが，授業をすすめる際に参考とするのは Specific texts is not assigned. Some references are introduced in the lecture. ・松本幸夫 著「多様体の基礎」東大出版会、 ・小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」裳華房、 ・小沢哲也 著「曲線と曲面と接続の幾何」裳華房、 ・大森英樹 著「一般力学系と場の幾何学」培風館．
授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters）	【授業内容】 相対性理論 と リーマン計量 の話をします．Metric and Realativity. 第　１回：イントロ 内容紹介.　世界地図のゆがみ／アキレスと亀の時空      Introduction. Distortion of the world map / time-space of Achilles and the Tortoise 第　２回：基底変換と座標変換／運動する観測者の変換公式       Transformation / Transformation under constant velocity movement 第　３回：幾何学でのベクトル／アキレスによる亀の観測       Vectors in geometry / The Tortoise in Achilles's time-space 第　４回：ベクトルの座標変換／ローレンツ収縮       Transformation on vectors / Lorentz contraction 第　５回：ベクトル場／時計の遅れ       Vector fields / Time dilation 第　６回：コベクトル・一次微分形式／早さの和公式       co-vector, differential 1-form / velocity summation formula 第　７回：等加速度運動       constant acceleration movement, its time-space 第　８回：　前半の補足事項（外微分と微分方程式，行列場，...）       Supplement (exterior derivative, matrix field, etc.) 第　９回：内積から計量へ／固有時間       from Inner product to metric / specific time 第１０回：非ユークリッド幾何学／空間のゆがみ       Non Euclidean geometry / Distortion of time-space 第１１回：微分方程式／光の軌跡       Differential equation / trajectory of the light 第１２回：測地線／外力を受けない物体の軌跡       geodesic / trajectory of object without external force 第１３回：接続／双子のパラドックス       connection / Twin paradox 第１４回：測地線の方程式／エネルギー       geodesic equation / energy 第１５回：　補足事項・解説       Final remarks (Some temporary topics) （過去の授業進度を参考にしましたが、変更することがあります.） (This list is from recent lectures in past. Contents can be modified) １月最初の回までで内容的に１区切りとします． In the first lecture in January, the main part is over. １０月中に 応用幾何学の未履修者のための補習を行うと思います． A supplementary lecture is planned in October, for students who have not learned "applied geometry". 最近は 相対性理論を多めにしています. （長期的には, 位相幾何学，微分幾何学，数理物理などの話題から，ときどき路線を変更しようと考えています．） Recently, talks on Relativity is increasing. (In long time view, topics in topology, differential geometry, and Mathematical Physics are referred.) 【授業の進め方】 授業は基本的に 配布するプリント と 板書 によって進めます．プロジェクタによる授業も増やしつつあります．プリントはファイルして毎回持参して下さい． Black board and projector. Most handouts are in bound form (they should be filed as a textbook). In Japanese language.
実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience
成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters）	【成績評価方法】 2016年度辺りから受講者が増えて雰囲気が変わってきました. レポート課題を２回．履修者が多い場合（目安：１０名）には試験も実施します. 2/3 程度の「出席」は条件とします. 不合格もあり得ます． By report , but, an exam will be needed if many students come. Study or reports motivated on your own interest and curiosity are appreciated. Enough attendance is needed. 【評価基準】 理解しようという意志は持ってください．内容的には次のＡ,Ｂをもって最低達成基準の目安とします. (Ａ) 幾何学でいう ベクトル や 微分形式、計量 の定義や表示法を理解し、簡単な計算を行うことができる. (Ｂ) 幾何学を中心にして相対性理論や世界地図（曲面）のゆがみを説明できる. (A) Understand on the method and convention, and get skill to use vectors (in geometry) differential form, and metric. (B) Based on geometry, understand how to describe distortion of surface, manifold and time-space.
オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters）	水曜の５限とします. 居室にいるときは 時間さえあればいつでも質問には答えますが，予め 講義終了時 や mail で時間を打合せてくれると確実です．
学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters）	手応えを感じていますので、内容は今年もおおよそ同じにしたいと思います．教養への意欲・興味からの動機を大切にして聴講してください．緩い意欲での怠惰な聴講は避けてください． 【連絡】最近、１月の学外活動による休講が増えています．先に補講することを考えています． In January, this lecture is often cancelled by university events. Early supplementary lecture may be planned.
その他 /Others	前学期開講の「幾何学基礎論」とは独立であるが，なるべく両方の履修を薦めたい．学部生の聴講も歓迎します．「幾何学概論」を興味をもって聞いてくれた学生など．
キーワード /Keywords	多様体(Manifold), リーマン計量(Riemanian metric), 接続(connection), 測地線(geodesic), 曲率(curvature), 相対性理論(Theory of Relativity)