シラバス参照
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シラバス参照
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| 講義概要/Course Information |
| 科目基礎情報/General Information |
| 授業科目名 /Course title (Japanese) |
数理解析学 | ||
|---|---|---|---|
| 英文授業科目名 /Course title (English) |
Mathematical Analysis | ||
| 科目番号 /Code |
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| 開講年度 /Academic year |
2019年度 | 開講年次 /Year offered |
全学年 |
| 開講学期 /Semester(s) offered |
後学期 | 開講コース・課程 /Faculty offering the course |
博士前期課程、博士後期課程 |
| 授業の方法 /Teaching method |
講義 | 単位数 /Credits |
2 |
| 科目区分 /Category |
大学院専門教育科目 - 専門科目Ⅰ | ||
| 開講類・専攻 /Cluster/Department |
情報学専攻 | ||
| 担当教員名 /Lecturer(s) |
伊東 裕也 | ||
| 居室 /Office |
東1-515 | ||
| 公開E-mail |
ito-hiroya@uce.ac.jp | ||
| 授業関連Webページ /Course website |
http://www.ito.e-one.uec.ac.jp/lect19/fourier/index.html | ||
| 更新日 /Last update |
2019/10/10 15:23:51 | 更新状況 /Update status |
公開中 /now open to public |
| 講義情報/Course Description |
| 主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters） |
【主題】 Fourier級数，Fourier変換の数学的基礎と，それを説明する道具としての関数解析学の初歩を学ぶ． 【達成目標】 広く理工系・情報系において利用されるFourier解析（Fourier級数・Fourier変換）を主題とする．工学分野においては道具として使いこなすことに重点が置かれるが，本講義では，Fourier級数の収束性やFourier変換の積分の意味といった基本的事項を数学の言葉（関数解析学の初歩）を用いてある程度の厳密性をもって体系的に理解する．また，そのことを通して，数学的スキルの向上と応用する際のより高い視点の獲得を図る． 《授業の概要》 Fourier級数に関しては，一様収束から入り，ノルムとBanach空間，内積とHilbert空間を導入して色々なタイプの収束性について学ぶ．特に，Fourier級数はHilbert空間における正規直交基底による展開の代表例と見ることができ，この視点は数学的に見ても大変重要である．Fourier変換に関しては，Fourier級数に対応する収束性だけでなく，対象とする関数の範囲を(デルタ関数を含む)超関数にまで拡張し，Fourier変換のより柔軟な扱い方についても学ぶ． [Theme] Mathematical foundation of Fourier series and Fourier transform, combined with introduction to functional analysis [Objective] Fourier analysis -- Fourier series and Fourier transform -- is widely used in science and engineering; especially in engineering, emphasis tends to be placed on mastery as tools. In this lecture, however, basic matters such as the convergence of Fourier series and the meaning of integration of Fourier transform are systematically understood with some degree of rigidity using mathematical terms (of function analysis). Also, through that, it is expected to improve mathematical skills and acquire a higher viewpoint when applying Fourier analysis. [Outline] As for Fourier series, we first consider uniform convergence, and then learn about various types of convergence by introducing norm and Banach space, inner product and Hilbert space. In particular, the Fourier series can be regarded as a typical example of expansion by an orthonormal basis in Hilbert space, and this viewpoint is very important from a mathematical point of view. As for Fourier transform, we learn not only convergence corresponding to Fourier series but also more flexible way of handling Fourier transform by extending functions to tempered distributions (including the delta function). |
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| 前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters） |
微分積分学第一／第二，解析学，線形代数学第一／第二，数学演習第一／第二 Calculus I & II Advanced Calculus, Linear Algebra I & II, Exercise in Mathematics I & II (Basic skills of analysis and linear algebra of undergraduate level are required) |
| 前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters） |
解析学基礎論 Fundamentals of Analysis |
| 教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters） |
教科書は特に定めない 参考書・参考資料等 ケルナー 著「フーリエ解析大全」(上下)(朝倉書店 1996年) 新井仁之 著「フーリエ解析と関数解析学」(培風館 2001年) 新井仁之 著「フーリエ解析学」(朝倉書店 2003年) スタイン & シャカルチ 著「フーリエ解析入門」(日本評論社 2007年) Textbook: Not specified References: T. W. Koerner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1989. E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1), Princeton Univ Press, 2003. |
| 授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters） |
(a) 授業内容 第１回 Fourier解析概観 第２回 Fourier級数の一様収束 第３回 Lebesgue積分入門 第４回 ノルムとBanach空間 第５回 Fourier級数の収束とGibbs現象 第６回 内積とHilbert空間 第７回 Fourier級数のL^2理論 第８回 Fourier級数の偏微分方程式への応用 第９回 Fourier級数からFourier変換へ 第10回 急減少関数のFourier変換 第11回 超関数入門 第12回 緩増加超関数のFourier変換 第13回 L^2関数のFourier変換 第14回 Fourier変換の偏微分方程式への応用 第15回 Fourier解析に関する補足 【注意】受講生の反応を見ながら，授業内容を減らすことがある． 1. Overview of Fourier Analysis 2. Uniform Convergence of Fourier Series 3. Introduction to Lebesgue Integral 4. Norms and Banach Spaces 5. Convergence of Fourier Series and Gibbs Phenomenon 6. Inner Products and Hilbert Spaces 7. L^2 Theory of Fourier Series 8. Application of Fourier Series to PDE 9. From Fourier Series to Fourier Transform 10. Fourier Transform of Rapidly Decreasing Functions 11. Introduction to Distributions 12. Fourier Transform of Tempered Distributions 13. Fourier Transform of L^2 Functions 14. Application of Fourier Transform to PDE 15. Additional Comments on Fourier Analysis (b) 授業の進め方 プロジェクタと黒板を用いて講義を進める． Using projector and blackboard |
| 実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience |
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| 授業時間外の学習 （予習・復習等）（1,000文字以内） /Preparation and review outside class（up to 1,000 letters） |
講義中に課題問題を出題するので，次の講義までに必ずトライすること．手を動かして考えることが，講義内容の理解を助けます． Since several questions will be presented in every lecture, please try to solve them by the next lecture. Thinking while moving hands will help you understand the content of the lecture. |
| 成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters） |
講義の中で出題される課題に対するレポートにより，理解到達度を判断し評価する． Homeworks and reports are assigned |
| オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters） |
金曜5限(＠東1-515)を授業相談の時間とします．それ以外の時間の相談を希望する場合は，事前にEメール等で予約して下さい． Friday 5th period (16:15--17:45) is time for the office hour. If you wish to consult any other time, please make an appointment by E-mail beforehand. |
| 学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters） |
多くの皆さんにお馴染みのFourier級数やFourier変換を数学的な味付けで学び直してみませんか？ Would you like to refine your knowledge about Fourier series and Fourier transform with mathematical seasonings? |
| その他 /Others |
隔年開講する． Lecture will be held every other year |
| キーワード /Keywords |
Fourier級数，Fourier変換，Fourier解析，Banach空間，Hilbert空間，正規直交基底，L^2関数，超関数 Fourier series, Fourier transform, Fourier analysis, Banach space, Hilbert space, orthonormal basis, L^2-function, distribution |