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講義概要/Course Information

2020/04/28 現在

科目基礎情報/General Information

授業科目名 /Course title (Japanese)	幾何学基礎論
英文授業科目名 /Course title (English)	Fundamental of Geometry
科目番号 /Code
開講年度 /Academic year	2020年度	開講年次 /Year offered	全学年
開講学期 /Semester(s) offered	前学期	開講コース・課程 /Faculty offering the course	博士前期課程
授業の方法 /Teaching method	講義	単位数 /Credits	2
科目区分 /Category	大学院基礎教育科目
開講学科・専攻 /Cluster/Department	全専攻共通
担当教員名 /Lecturer(s)	山田　裕一
居室 /Office	東1-507
公開E-Mail /e-mail	yyyamada@e-one.uec.ac.jp
授業関連Webページ /Course website	http://www.yyyamada.e-one.uec.ac.jp/Lecture/geomPW.html
更新日 /Last updated	2020/03/03 16:35:57	更新状況 /Update status	公開中 /now open to public

講義情報/Course Description

主題および 達成目標 /Topic and goals	【主題】幾何学の基礎理論「位相空間論(topological space)」と多様体（manifolds）の理論の要点を紹介する．多様体を簡単に説明すれば，座標が与えられて微分や積分を行うことのできる図形のこと と言えるだろう．現代的な幾何学は「多様体（manifolds）」の上で行なわれる．位相空間論は幾何学だけでなく数学全体の基礎理論である．図形が単なる「点の集合」ではないことを知ることになるだろう．時間が許せば，実用を意識して，曲面や空間のゆがみを記述するリーマン計量にも触れる． 【達成目標】基礎数学（微分積分、線形代数）が融合して幾何学に発展する．復習にも教養にもなる． 　[位相空間論]  基礎概念のいくつか（距離，開集合，連続性，連結性，コンパクト，等）を理解する 　[多様体] 座標の扱い方を学び，図形の上での微積分を扱う The theory of topological space and manifold. Manifold is a geometric object (as a surface), covered by coordinates. We can apply calculus (differential, integral, and so on) there. Theory of topological space is a foundation not only for geometry but also all mathematics. Geometry goes beyond set theory. If we have sufficient time, I talk on Riemann metric over manifolds, which is how to describe curved surface and space. [Topological space] Understand some terminologies in the theory of topological space. (distance, open set, continuous, connected-ness, compact, etc.) [Manifold] How to use coordinates, coordinate transformation, of points, vectors, differential forms.
前もって履修 しておくべき科目 /Prerequisites	学部１年の時に学んだ「微分積分学」「線形代数学」「解析学」を復習しておいてほしい． Calculus, Linear algebra, Analysis
前もって履修しておくこ とが望ましい科目 /Recommended prerequisites and preparation	「幾何学概論」，「応用幾何学（改組前）」を履修していると助けになる．未履修の場合「幾何学概論」を並行受講すると理解が進むと思います． "Introduction to geometry", "Applied geometry" is helpful.
教科書等 /Course textbooks and materials	藤岡敦 著「具体例から学ぶ 多様体」裳華房 参考書は講義でいくつか紹介する予定．Some references are introduced in the lecture. ・松本幸夫 著「多様体の基礎」東大出版会、 ・小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」裳華房
授業内容と その進め方 /Course outline and weekly schedule	【授業内容】 位相幾何学と多様体．Topology and Manifold 第　１回：イントロ 内容紹介.　位相空間，多様体 第　２回：距離空間、連続性 第　３回：開集合、位相空間 第　４回：位相的性質（連結性、コンパクト性） 第　５回：陰関数定理 第　６回：多様体の座標、座標変換 第　７回：部分多様体、境界 第　８回：　前半の補足事項 第　９回：写像の微分 第１０回：１次元多様体（円周） 第１１回：２次元多様体（曲面），射影平面 第１２回：コベクトル・一次微分形式 第１３回：内積から計量へ 第１４回：非ユークリッド幾何学 第１５回：　補足事項・解説 （変更することがあります） 1: Introduction.  Topological space, Manifold 2: Distance, Metric space, continuous map. 3: Open set, Topology 4: Connected, Compact 5: Implicit function theorem 6: Coordinates, Coordinate transformation 7: Submanifold, Boundary 8:   Supplement for the first half 9: Differential of maps 10: 1-dim. manifold 11: 2-dim. Manifold (Surface) 12: co-vector, differential form 13: Inner product, Metric 14: non-Euclidean geometry 15:   Final Remarks (Contents can be modified) 2020年度は補習を行うかも知れません． In 2020, A supplementary lecture is planned. 【授業の進め方】 授業は基本的に 板書 によって進めます．プリントも配布します．プロジェクタによる授業も増やしつつあります．プリントはファイルして毎回持参して下さい． Black board, handouts (prints) and projector. Most handouts are in bound form (they should be filed as a textbook). In Japanese language.
実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience
授業時間外の学習 （予習・復習等） /Preparation and review outside class	それぞれの個性に応じて，おもしろいと思ったところを見つけて，専門書を調べたりして知識・理解を深めて下さい． Find and try your own interest and curiosity, and study on them by yourself.
成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） /Evaluation and grading	【成績評価方法】レポート課題を１or２回．各自の興味に基づいたものを期待します．ただし，履修者が多い（目安：１５名を超える）場合には、試験を行います．全体の 2/3 程度の出席は要求します． Reports twice, but an exam will be needed if many (over about 15) students come. Study or reports motivated on your own interest and curiosity are appreciated. Enough (>2/3) attendance is needed. 【評価基準】自分の研究で多忙とは思いますが、理解しようという意欲は持ってください．内容的には次の２つをもって目安とします． (A) 位相空間論のいくつかの用語とその意義・必要性を理解する． (B) 多様体の基礎を理解し，座標や接ベクトルの扱いを理解する． Make an effort to understand the geometry and the mathematics. (A) Understand the method and conventions in the theory of topological spaces. (B) Understand the method in the theory of manifold, specially, coordinate transformations of coordinates, vectors, differential forms.
オフィスアワー： 授業相談 /Office hours	水曜の５限とします. 居室にいるときは 時間さえあればいつでも質問には答えますが，予め 講義終了時 や mail で時間を打合せてくれると確実です．
学生へのメッセージ /Message for students	2019年度まで山田が担当した幾何学特論との共通部分は最後の方の一部のみ．相対性理論は扱わない．
その他 /Others	後学期開講の「幾何学特論」とは独立であるが，なるべく両方の履修を薦めたい．
キーワード /Keyword(s)	位相空間(topological space), 距離空間(metric space), 開集合(open set), 連続写像(continuous map), 連結(connected), コンパクト(compactness), 曲面(surfaces), 多様体(Manifold), 座標(coordinate), 微分形式(differential form), リーマン計量(Riemanian metric), 接続(connection), 測地線(geodesic)