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講義概要/Course Information

2020/04/28 現在

科目基礎情報/General Information

授業科目名 /Course title (Japanese)	解析学基礎論
英文授業科目名 /Course title (English)	Fundamentals of Analysis
科目番号 /Code
開講年度 /Academic year	2020年度	開講年次 /Year offered	全学年
開講学期 /Semester(s) offered	前学期	開講コース・課程 /Faculty offering the course	博士前期課程
授業の方法 /Teaching method	講義	単位数 /Credits	2
科目区分 /Category	大学院基礎教育科目
開講学科・専攻 /Cluster/Department	全専攻共通
担当教員名 /Lecturer(s)	石田　晴久
居室 /Office	東1-501
公開E-Mail /e-mail	ishida＠uec.ac.jp
授業関連Webページ /Course website	なし
更新日 /Last updated	2020/02/21 15:36:34	更新状況 /Update status	公開中 /now open to public

講義情報/Course Description

主題および 達成目標 /Topic and goals	(a) 主題 　現代解析学の基礎理論としてルベーグ積分論とその関数空間論の基礎を主題とする．具体的には，まず積分論の土台をなす測度論をカラテオドリの流儀に従って公理的に展開し，ラドン測度の主要な性質を概観する．次に，これらの測度論に基づいてルベーグ式の積分論を構築する．そこでの主題は積分と極限の順序交換を保証する収束定理及び積分順序の交換に関するフビニの定理である．そして，その応用としてルベーグ空間上でのフーリエ変換論の基本的事項について解説する．最後にソボレフ空間の基礎的内容，特に埋蔵定理や補間不等式について言及する予定である． 　This lecture gives you several foundations of Lebesgue integration theory and its related function spaces. First of all, we introduce the outermeasures in the sense of Caratheodory, and observe their basic properties including Radon measures. In the sequel, we construct the integrals of Lebesgue type, based on these outermeasures in abstract spaces. Main subjects are convergence theorems due to Henri Leon Lebesgue and the Fubini-Tonelli theorem therein. Morevoer, we will explain some fundamentals of Fourier transforms in Lebesgue spaces, as their applications. Finally, we will provide a few basic matters in Sobolev spaces, especially embedding theorems and interpolation inequalities. (b) 達成目標 　この授業は超関数に代表される，弱い意味での近代的な微分概念を通じて工学上重要な偏微分方程式（波動方程式、熱伝導方程式等）の初期-境界値問題を議論するための基本的枠組の関数空間を与え，今後の偏微分方程式論への学習の基礎となる概念の理解を深めることが目標である． 　Our purpose is to give fundamental frameworks for the initial-boundary value problems of important partial differential equations like wave equations and heat equations in Science and Technology, through modern differential notion of weak derivatives on behalf of Schwartz distributions.
前もって履修 しておくべき科目 /Prerequisites	微分積分学第一，同第二，線形代数学第一，同第二，解析学 Calculus I, II; Linear Algebra I, II; Analysis
前もって履修しておくこ とが望ましい科目 /Recommended prerequisites and preparation	複素関数論，現代数学入門Ａ Complex Analysis, Introduction to Modern Mathematics A
教科書等 /Course textbooks and materials	教科書：水田 義弘 著「実解析入門　測度・積分・ソボレフ空間」，培風館 参考書：相川 弘明・小林 政晴 共著「ルベーグ積分 要点と演習」，共立出版 新井 仁之 著「ルベーグ積分講義」，日本評論社 伊藤 清三 著「ルベーグ積分入門」（数学選書4），裳華房 柴田 良弘 著「ルベーグ積分論」，内田老鶴圃 溝畑　　茂 著「ルベーグ積分」（岩波全書），岩波書店 谷島 賢二 著「ルベーグ積分と関数解析」（数学の考え方13），朝倉書店 北田　　均 著「数理解析学概論」，現代数学社 宮島 静雄 著「ソボレフ空間の基礎と応用」，共立出版 垣田 高夫 著「シュワルツ超関数入門」，日本評論社 金子　　晃 著「偏微分方程式入門」（基礎数学12），東京大学出版会 熊ノ郷　準 著「偏微分方程式」（共立数学講座14），共立出版 小川 卓克 著「非線型発展方程式の実解析的方法」（シュプリンガー現代数学シリーズ18），丸善出版 E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, 2nd ed., Graduate Studies in Math., Vol. 14, AMS, 2001. E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Anal., Vol. 3, Princeton Univ. Press, 2005. Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, Graduate Studies in Math., Vol. 126, AMS, 2011. N. Lerner, A Course on Integration Theory, Birkhaeuser, 2014. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987. L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., Graduate Studies in Math., Vol. 19, AMS, 2010.
授業内容と その進め方 /Course outline and weekly schedule	(a) 授業内容 第１回：有限次元ユークリッド空間とその位相，上極限・下極限，集合の演算 Euclidean spaces & their topology, superior & inferior limits, operations of sets 第２回：外測度とその制限，可測集合とその性質（集合算による可測性の保存，可算加法性など） Outermeasures & their restrictions, measurable sets & their properties 第３回：可算加法族，ボレル集合とその可測性，正則性 Countable additive classes, Borel sets, their measurablity & regularity 第４回：外測度の正則性，ボレル測度，ラドン測度 Regularity of outermeasures, Borel measures & Radon measures 第５回：可測関数，四則演算による関数の可測性の保存，関数の可測性の特徴づけ Measurable functions, presevation of measurability by 4 operations & a characterization of measurabilty 第６回：極限関数の可測性，可測関数の表現，可測関数列の測度収束性 Measurability of limit functions, representation of measurable functions, convergence in measure of sequence of measurable functions 第７回：階段関数とその積分，積分の定義，可積分関数とその性質 Step functions, definition of Lebesgue integral, integrable functions & their properties 第８回：積分の表現，ファトゥの補題，ルベーグの収束定理 Representations of integrals, Fatou's lemma, Lebesgue's convergence theorem 第９回：直積測度，フビニ・トネリの定理 Product measures, Fubini-Tonelli theorem 第10回：ルベーグ関数空間，ヘルダーの不等式，ミンコフスキーの不等式 Lebesgue spaces, Hoelder ineqality, Minkowski-type ineqalities 第11回：関数の合成積，ルベーグ関数の軟化子による近似，ハウスドルフ・ヤングの不等式 Convolution of functions, approximation of Lebesgue functions by mollifier, Hausdorff-Young inequality 第12回：ルベーグ空間におけるフーリエ変換，リーマン・ルベーグの定理，ガウス核，反転公式 Fourier transform in Lebesgue spaces, Riemann-Lebesgue theorem, Gaussian kernel, inversion formula 第13回：シュワルツの急減少関数，プランシュレルの定理，パーセバルの等式 Rapidly decreasing functions, Plancherel's theorem, Parseval's identity 第14回：シュワルツ超関数と弱導関数，ソボレフ空間，ソボレフの埋蔵定理 Schwartz distributions, Sobolev spaces, Sobolev embedding theorem 第15回：ガリアード・ニーレンバーグの補間不等式 Interpolation inequality of Gagliardo-Nirenberg (b) 授業の進め方 　上記に示すような内容を全体的な関連がわかるように，系統的に説明して授業を進める． 　Every lecture is systematically presented in total relation to the above contents.
実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience
授業時間外の学習 （予習・復習等） /Preparation and review outside class	研究活動に重点を置いてもらいたいので予習まで求めませんが，毎回の講義後には必ず復習するよう心掛けて下さい．その際，講義内容の理解度を確認する上で教科書等にある演習問題を解く作業が役立つため，各自で問題演習をよく行なうよう指示します．殆んどの問題が解けない状況なら明らかに理解不足と云えます．その場合には多くの参考書を挙げていますから，それらを活用して下さい． 　We strongly recommend you to review the last lesson every week. It is also important to solve many exercises on the textbook then. You see your poor understanding if you can solve few exercises. A lot of fine references above may greatly help you.
成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） /Evaluation and grading	(a) 成績評価方法 　レポート，授業で出題する演習問題の解答内容等によって総合評価する． 　The evaluation is based on the homework report, practices shown in the classroom and so on. (b) 評価基準 　以下の到達レベルをもって合格の基準とする． 　　１． 測度に関する基本的な概念と性質が概ね理解できている． 　　２． 可測関数と連続関数との類似点及び相違点について概ね理解できている． 　　３． ルベーグ式積分の概念を理解し，階段関数等の簡単な関数に対して運用することができる． 　It is necessary for the pass to satisfy all the following standards. 1. You can mostly see fundamental notion and properties on measures. 2. You can mostly find the similarities and differnces between measurable functions and continuous functions. 3. You can see the notion of Lebesgue integral and use the integrals of easy functions like step function.
オフィスアワー： 授業相談 /Office hours	東１号館，５０１号室，火曜，５時限を原則とします．但し，この時間に都合がつかない場合には，数日前に電子メールで来室予約をとった上で居室を訪問されたい．電子メールでの質問は固くお断りします．当該授業の内容以外の質問や相談には応じませんので悪しからず． 　The office hour is basically 16:15-17:45 on every Tuesday at Room 501 in Bldg. E-1. You must take an appointment via e-mail if the above period is inconvenient for you. I reject any question about this lecture by e-mail, and never respond any matter not related to this lecture.
学生へのメッセージ /Message for students	半年間の講義で現代解析学全般を概観することは事実上不可能なので，基礎的な内容を解説することのみに追われることと思います．従って，どうしても学生諸君の自習に頼らざるを得ない箇所があるでしょうが，学部授業の「微分積分学」では味わえなかった，20世紀の解析学の潮流の一端を感じてもらえれば幸いです．特に数理系専攻の大学院生には上記の参考書等で引き続いて学習されることを望みたいと思います．現代数学の特徴の一つである公理的な議論展開にも慣れてもらうことを期待します． 　We will devote all lessons to the exposition of fundamental materials, because it is hard to present a wide aspect of Modern Analysis in half-yearly lectures. So we require your self-discipline auxiliarily, and we hope you will feel a current stream of Mathematical Analysis in the 20th cent. different from Undergraduate Calculus. Especially, we expect you to continue your study in aid of the above references. We wish you will get used to axiomatic arguments as one characteristic of Modern Math.
その他 /Others	なし
キーワード /Keyword(s)	集合算(operations in sets)，外測度(outermeasure)，可測集合(measurable set)，ボレル集合(Borel set)，ラドン測度(Radon measure)，ルベーグ測度(Lebesgue measure)，可測関数(measurable function)，階段関数(step function)，ファトゥの補題(Fatou's lemma)，ルベーグの収束定理(Lebesgue's convergence theorem)，フビニの定理(Fubini's theorem)，ルベーグ空間(Lebesgue space)，ヘルダー・ミンコフスキーの不等式(Hoelder-Minkowski ineqaulities)，リーマン・ルベーグの定理(Riemann-Lebesgue theorem)，ガウス核(Gaussian kernel)，反転公式(inversion formula)，合成積(covolution)，ハウスドルフ・ヤングの不等式(Hausdorff-Young inequality)，軟化子(mollifier)，シュワルツの急減少関数(rapidly decreasing function)，プランシェレルの定理(Plancherel's theorem)，弱導関数(weak derivative)，ソボレフ空間(Sobolev space)，ソボレフの埋蔵定理(Sobolev embedding theorem)，ガリアード・ニーレンバーグの補間不等式(Gagliardo-Nirenberg inequality)