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講義概要/Course Information

2020/04/28 現在

科目基礎情報/General Information

授業科目名 /Course title (Japanese)	応用解析学特論
英文授業科目名 /Course title (English)	Advanced Applied Analysis
科目番号 /Code
開講年度 /Academic year	2020年度	開講年次 /Year offered	全学年
開講学期 /Semester(s) offered	後学期	開講コース・課程 /Faculty offering the course	博士前期課程、博士後期課程
授業の方法 /Teaching method	講義	単位数 /Credits	2
科目区分 /Category	大学院専門教育科目 - 専門科目Ⅱ
開講学科・専攻 /Cluster/Department	情報・ネットワーク工学専攻
担当教員名 /Lecturer(s)	緒方　秀教
居室 /Office	西4-306
公開E-Mail /e-mail	ogata@im.uec.ac.jp
授業関連Webページ /Course website	http://www.uec-ogata-lab.jp/
更新日 /Last updated	2020/03/02 11:33:45	更新状況 /Update status	公開中 /now open to public

講義情報/Course Description

主題および 達成目標 /Topic and goals	◯主題 理工学の様々な研究分野に「変分問題」に表される問題が現れます。これは、汎関数（関数の関数）を最小あるいは停留にするような関数を求める問題で、幾何光学、解析力学、一般相対論などは変分問題をその第一原理としています。本科目では、変分問題を様々な例で紹介し、その解法を学びます。 ◯達成目標 １．変分問題は何かを理解していること。 ２．変分問題をオイラー・ラグランジュ方程式を用いて解くことができること。 Variational problems are familiar in science and engineering. They are problems of minimizing a functional, that is, a function of functions, and the first principle of analytical mechanics, geometric optics, general relativity, and so on are given as variational problems. In this class, many examples of variational problems are shown, and we study how to solve them. The aims of the class are 1. to understand what a variational problem is, and 2. to solve variational problems by the Euler-Lagrange equation.
前もって履修 しておくべき科目 /Prerequisites	学部の数学の授業、とくに微分積分学、線形代数、解析学（常微分方程式）の知識・スキルが重要です。 Subjects on fundamental mathematics, especially, calculus, linear algebra and analysis (ordinary differential equations)
前もって履修しておくこ とが望ましい科目 /Recommended prerequisites and preparation	応用数学（フーリエ解析）、物理学関係の科目。 Applied mathematics (Fourier analysis), subjects on physics.
教科書等 /Course textbooks and materials	＜教科書＞ 緒方秀教「変分法」コロナ社、2011年。 ＜参考書＞ 寺沢寛一「自然科学者のための数学概論［増訂版］」岩波書店、1983年。 <<textbooks>> H. Ogata, Calculus of Variations, Corona, 2011 (in Japanese). K. Terasawa, Mathematics for Natural Scientists, Iwanami, 1983 (in Japanese).
授業内容と その進め方 /Course outline and weekly schedule	＜変分法の基礎＞ 第1回：変分問題とは何か。汎関数。Euler-Lagrangeの方程式。 第2回：微積分・常微分方程式の復習。Euler-Lagrange方程式の解法例。 第3回：第一積分。幾何光学の例（Fermatの原理、光の屈折、逃げ水）。 第4回：高階導関数を含む場合。複数の関数を含む場合。 ＜解析力学＞ 第5回：Hamiltonの原理。Lagrange運動方程式。 第6回：エネルギー保存則。循環座標。一般化運動量。 第7回：Noetherの原理：対称性（変換不変性）→保存量。Hamilton形式の力学。Legendre変換。Hamiltonian。正準方程式。 第8回：位相空間。位相空間で正準方程式の解を見る。Poisson括弧。Hamilton形式の力学におけるHamiltonの原理。 第9回：正準変換。正準変換における不変量。無限小正準変換。 第10回：Hamilton-Jacobi方程式。 ＜変分法・発展編＞ 第11回：自由境界条件。横断性条件。 第12回：Lagrange未定乗数法。等周問題（制約条件付き変分問題）。 第13回：多変数汎関数に対する変分問題。 第14回：偏微分方程式の初等解法（変数分離法）。 第15回：近似解法。 <<Introduction to calculus of variations>> 1. What is a variational problem? Functional. Euler-Lagrange equation. 2. Review of calculus and ordinary differential equation. Examples of the Euler-Lagrange equation. 3. The first integral of the Euler-Lagrange equation. Geometrical optics (Fermat's principle). 4. Variational problems including higher-order derivatives <<Analytical mechanics>> 5. Hamilton's principle. Lagrange's equation of motion.    6. Conservation law of energy. Cyclic coordinates. Generalized momentum. 7. Noether's theorem. Mechanics in Hamilton style. Hamiltonian. Hamilton's canonical equations. Legendre's transforms. 8. Phase space. Poisson's bracket. Hamilton's principle in mechanics in Hamilton's style. 9. Canonical transforms. Infinitesimal canonical transforms. Conservation laws under canonical transforms. 10. Hamilton-Jacobi equation <<Advanced calculus of variations>> 11. Free boundary condition, transversality condition. 12. Isoperimetric problems (variational problems subject to constraints) 13. Variational problems with several variables 14. Solution of partial diffential equations (method of variable decomposition, etc.). 15. Numerical methods (Ritz's method, Galerkin's method, finite element method).
実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience
授業時間外の学習 （予習・復習等） /Preparation and review outside class	まず、学部で習った微積分、微分方程式の知識・スキルを完璧にし、具体的な問題がちゃんと解けるようにしてください。その上で、教科書の練習問題を解くなどして、具体的な変分問題を解くようにしてください。 First, we need the knowledge and the skills of calculus and differential equations. It is recommended to solve problems in the textbooks.
成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） /Evaluation and grading	＜成績評価方法＞レポート問題を課しますので、その内容で成績評価します。 ＜達成基準＞ １．変分問題とは何か、変分法の基礎原理を理解すること。 ２．具体的な変分問題をオイラー・ラグランジュ方程式を用いて解くことができること。 ３．理工学に現れる問題を変分問題に定式化できること。 Students will be graded by assignments. To get a passing grade, it is needed to able 1. to understand what a variational problem is and the basic principles of the calculus of variations, 2. to solve variational problems by the Euler-Lagrange equation, and 3. to formulate problems in science and engineering as variational problems.
オフィスアワー： 授業相談 /Office hours	都合のつく限り何時でもOK。事前にメールなどでアポイントをとってください。 Anytime is okay. Please make an appointment by e-mail etc. in advance.
学生へのメッセージ /Message for students	変分法は応用数学の重要な素養です。数理的研究を志す学生の積極的な受講を期待します。 Calculus of variations is very important in applied mathematics. Students interested in mathematical subjects are welcome.
その他 /Others	とくになし。 Nothing
キーワード /Keyword(s)	変分問題、変分法、オイラー・ラグランジュ方程式、解析力学、ハミルトンの原理、ラグランジュ運動方程式、正準方程式、正準変換、ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式、等周問題。 variational problem, calculus of variations, Euler-Lagrange equation, analytical mechanics, Hamilton principle, Euler-Lagrange equation, canonical equations, canonical transforms, Hamilton-Jacobi equation, isoperimetric problem.