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講義概要/Course Information

2024/04/29 現在

科目基礎情報/General Information

授業科目名 /Course title (Japanese)	解析学基礎論
英文授業科目名 /Course title (English)	Fundamentals of Analysis
科目番号 /Code
開講年度 /Academic year	2021年度	開講年次 /Year offered	全学年
開講学期 /Semester(s) offered	前学期	開講コース・課程 /Faculty offering the course	博士前期課程
授業の方法 /Teaching method	講義	単位数 /Credits	2
科目区分 /Category	大学院基礎教育科目
開講類・専攻 /Cluster/Department	全専攻共通
担当教員名 /Lecturer(s)	石田　晴久
居室 /Office	東1-501
公開E-mail /e-mail	ishida＠uec.ac.jp
授業関連Webページ /Course website	なし
更新日 /Last update	2021/03/24 14:26:10	更新状況 /Update status	公開中 /now open to public

講義情報/Course Description

主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters）	(a) 主題 　現代解析学の基礎理論としてルベーグ積分論とその関数空間論の基礎を主題とする．具体的には，まず積分論の土台をなす測度論をカラテオドリの流儀に従って公理的に展開し，ラドン測度の主要な性質を概観する．次に，これらの測度論に基づいてルベーグ式の積分論を構築する．そこでの主題は積分と極限の順序交換を保証する収束定理及び積分順序の交換に関するフビニの定理である．そして，その応用としてルベーグ空間上での近似的手法を学び，多項式近似定理の証明について解説する． 　This lecture gives you several foundations of Lebesgue integration theory and its related function spaces. First of all, we introduce the outer measures in the sense of Caratheodory, and observe their basic properties including Radon measures. In the sequel, we construct the integrals of Lebesgue type, based on these outer measures in abstract spaces. Main subjects are convergence theorems due to Henri Leon Lebesgue and the Fubini-Tonelli theorem therein. Morevoer, we will explain an approximation method by mollifier in Lebesgue spaces and provide a proof of approximation theorem by polynomials as their applications. (b) 達成目標 　この授業は超関数に代表される，弱い意味での近代的な微分概念を通じて工学上重要な偏微分方程式（波動方程式、熱伝導方程式等）の初期-境界値問題を議論するための基本的枠組の関数空間を与え，今後の偏微分方程式論への学習の基礎となる概念の理解を深めることが目標である． 　Our purpose is to give fundamental frameworks for the initial-boundary value problems of important partial differential equations like wave equations and heat equations in Science and Technology, through modern differential notion of weak derivatives on behalf of Schwartz distributions.
前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters）	微分積分学第一，同第二，線形代数学第一，同第二，解析学 Calculus I, II; Linear Algebra I, II; Analysis
前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters）	複素関数論，現代数学入門Ａ Complex Analysis, Introduction to Modern Mathematics A
教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters）	教科書：相川 弘明・小林 政晴 共著「ルベーグ積分 要点と演習」，共立出版 参考書：新井 仁之 著「ルベーグ積分講義」，日本評論社 伊藤 清三 著「ルベーグ積分入門」（数学選書4），裳華房 柴田 良弘 著「ルベーグ積分論」，内田老鶴圃 水田 義弘 著「実解析入門　測度・積分・ソボレフ空間」，培風館 溝畑　　茂 著「ルベーグ積分」（岩波全書），岩波書店 谷島 賢二 著「ルベーグ積分と関数解析」（数学の考え方13），朝倉書店 北田　　均 著「数理解析学概論」，現代数学社 金子　　晃 著「偏微分方程式入門」（基礎数学12），東京大学出版会 熊ノ郷　準 著「偏微分方程式」（共立数学講座14），共立出版 小川 卓克 著「非線型発展方程式の実解析的方法」（シュプリンガー現代数学シリーズ18），丸善出版 E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, 2nd ed., Graduate Studies in Math., Vol. 14, AMS, 2001. E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Anal., Vol. 3, Princeton Univ. Press, 2005. N. Lerner, A Course on Integration Theory, Birkhaeuser, 2014. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987. L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., Graduate Studies in Math., Vol. 19, AMS, 2010.
授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters）	(a) 授業内容 第１回：ガイダンス（受講の心得，予備知識の確認，ルベーグ式積分の優位性など） Guidance (mental attitudes, preliminaries, priorities of integrals of Lebesgue type etc.) 第２回：可算集合・非可算集合，上限・下限，上極限・下極限，無限級数 Countable & uncountable sets, suprema & infima, superior & inferior limits, infinite series 第３回：可算加法族，可測集合，ボレル集合 Countable additive classes, measurable sets & Borel sets 第４回：可測関数，ボレル可測関数 Measurable functions & Borel measurable functions 第５回：可測関数列，単関数，極限関数の可測性 Sequences of measurable functions, simple functions & measurability of limit functions 第６回：測度，ルベーグ測度，測度の完備化 (outer-)measures, Lebesgue measures & completion of measures 第７回：単関数の積分とその性質，非負値可測関数の積分の定義，積分可能関数と積分確定関数 Integrals of simple functions & their properties, definition of integrals of nonnegative-valued measurable functions, integrable functions 第８回：積分確定関数の性質（線形性，単調性，積分領域に関する加法性など） Properties of integrals (linearity, monotonicity, additivity w.r.t. integral domains etc.) 第９回：ルベーグ式積分の具体例 Concrete examples of integrals of Lebesgue type 第10回：単調収束定理，ファトゥの補題，ルベーグの優収束定理，有界収束定理 Monotone convergence theorem, Fatou's lemma, dominated convergence theorem of Lebesgue & bounded convergence theorem 第11回：連続媒介変数に対する収束定理，積分記号下の微分，不定積分の絶対連続性 Convergence theorem with one continuous parameter, differentiation under integrals & absolute continuity of indefinite integrals 第12回：収束定理の応用（熱方程式の初期値問題の解表示，ディリクレ問題の解表示など） Applications of convergence theorems (solution representations of Cauchy problem for heat equation & of Dirichlet problem) 第13回：ルベーグ関数空間，ヘルダーの不等式，ミンコフスキーの不等式 Lebesgue spaces, Hoelder inequality & Minkowski-type inequalities 第14回：ユークリッド空間上のルベーグ関数の合成積，軟化子による近似，ハウスドルフ・ヤングの不等式 Convolution of Lebesgue functions on Euclidean spaces, approximations by mollifier & Hausdorff-Young inequality 第15回：まとめと補遺 Conclusions & supplements (b) 授業の進め方 　上記に示すような内容を全体的な関連がわかるように，系統的に説明して授業を進める． 　Every lecture is systematically presented in total relation to the above contents.
実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience
授業時間外の学習 （予習・復習等）（1,000文字以内） /Preparation and review outside class（up to 1,000 letters）	研究活動に重点を置いてもらいたいので予習まで求めませんが，毎回の講義後には必ず復習するよう心掛けて下さい．その際，講義内容の理解度を確認する上で教科書等にある演習問題を解く作業が役立つため，各自で問題演習をよく行なうよう指示します．殆んどの問題が解けない状況なら明らかに理解不足と云えます．その場合には多くの参考書を挙げていますから，それらを活用して下さい． 　We strongly recommend you to review the last lesson every week. It is also important to solve many exercises on the textbook then. You see your poor understanding if you can solve few exercises. A lot of fine references above may greatly help you.
成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters）	(a) 成績評価方法 　レポート，授業で出題する演習問題の解答内容等によって総合評価する． 　The evaluation is based on the homework report, practices shown in the classroom and so on. (b) 評価基準 　以下の到達レベルをもって合格の基準とする． 　　１． 測度に関する基本的な概念と性質が概ね理解できている． 　　２． 可測関数と連続関数との類似点及び相違点について概ね理解できている． 　　３． ルベーグ式積分の概念を理解し，階段関数等の簡単な関数に対して運用することができる． 　It is necessary for the pass to satisfy all the following standards. 1. You can mostly see fundamental notion and properties on measures. 2. You can mostly find the similarities and differnces between measurable functions and continuous functions. 3. You can see the notion of Lebesgue integral and use the integrals of easy functions like step function.
オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters）	遠隔授業が実施されている期間において，意義のある質問は WebClass の「フォーラム」にて受け付けます． During the period doing remote classes, meaningful questions will be accepted on the forum in WebClass. 　東１号館，５０１号室，火曜，５時限を原則とします．但し，この時間に都合がつかない場合には，数日前に電子メールで来室予約をとった上で居室を訪問されたい．電子メールでの質問は固くお断りします．当該授業の内容以外の質問や相談には応じませんので悪しからず． 　The office hour is basically 16:15-17:45 on every Tuesday at Room 501 in Bldg. E-1. You must take an appointment via e-mail if the above period is inconvenient for you. I reject any question about this lecture by e-mail, and never respond any matter not related to this lecture.
学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters）	半年間の講義で現代解析学全般を概観することは事実上不可能なので，基礎的な内容を解説することのみに追われることと思います．従って，どうしても学生諸君の自習に頼らざるを得ない箇所があるでしょうが，学部授業の「微分積分学」では味わえなかった，20世紀の解析学の潮流の一端を感じてもらえれば幸いです．特に数理系専攻の大学院生には上記の参考書等で引き続いて学習されることを望みたいと思います．現代数学の特徴の一つである公理的な議論展開にも慣れてもらうことを期待します． 　We will devote all lessons to the exposition of fundamental materials, because it is hard to present a wide aspect of Modern Analysis in half-yearly lectures. So we require your self-discipline auxiliarily, and we hope you will feel a current stream of Mathematical Analysis in the 20th cent. different from Undergraduate Calculus. Especially, we expect you to continue your study in aid of the above references. We wish you will get used to axiomatic arguments as one characteristic of Modern Math.
その他 /Others	令和３年度大学院基礎教育科目「解析学基礎論」の教室はＡ棟４階４０１教室に決まりました．
キーワード /Keywords	可算集合(countable set)，上極限・下極限(superior & inferior limit)，可算加法族(countable additive class)，可測集合(measurable set)，可測関数(measurable function)，測度(measure)，ルベーグ式積分(integral of Lebesgue type)，ルベーグの収束定理(Lebesgue's convergence theorem)，合成積(convolution)，軟化子(mollifier)