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講義概要/Course Information

2024/04/29 現在

科目基礎情報/General Information

授業科目名 /Course title (Japanese)	幾何学特論
英文授業科目名 /Course title (English)	Advanced Topics of Geometry
科目番号 /Code
開講年度 /Academic year	2021年度	開講年次 /Year offered	全学年
開講学期 /Semester(s) offered	後学期	開講コース・課程 /Faculty offering the course	博士前期課程、博士後期課程
授業の方法 /Teaching method	講義	単位数 /Credits	2
科目区分 /Category	大学院基礎教育科目
開講類・専攻 /Cluster/Department	全専攻共通
担当教員名 /Lecturer(s)	○山口　耕平
居室 /Office	非常勤講師
公開E-mail /e-mail	kohhei(at)im.uec.ac.jp
授業関連Webページ /Course website	なし
更新日 /Last update	2021/09/14 11:45:39	更新状況 /Update status	公開中 /now open to public

講義情報/Course Description

主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters）	本講義では、２０世紀前半に、数理物理学（相対論等）との関連で重要性を増しつつある現代幾何学の入門的講義を目標とする。とくに、リーマン幾何学（曲面論）の入門的講義および関連するトポロジー（オイラー数、ベッチ数、回転数等の位相不変量）の入門的講義が主要なトピックスとなる。微分幾何学で表れるさまざまな不変量（第１形式、第２形式、ガウス曲率、平均曲率）の幾何学的意味とトポロジーで紹介されるオイラー数を3次元空間内で理解することが主要テーマである。 The main purpose of this lecture is to give the introduction of the recent mordern geometry. More precisely, we shall study about the Riemann geometry concerning surfaces and the related topics of topology (e.g. Euler number, Betti numbers, rotaion numbers etc.). In particular, we investigate several topological invariants (the first and second fundamental forms, Gaussian curvature, mean curvature) and we try to understand Euler numbers in the three dimensional spaces.
前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters）	微分積分学第1・同第二、解析学、線形代数学第一・同第二 Calculus I and II, Analysis, Linear Algebra I and II
前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters）	幾何学概論、応用代数学 Geometry, Applied Algebra
教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters）	曲線と曲面（梅原・山田 共著), 裳華房（最初の講義で補助テキスト・参考文献を紹介する） 参考文献： 代数的トポロジー（枡田幹也著、朝倉書店）、 曲線と曲面（梅原雅顕・山田光太郎 共著、裳華房）、 曲線と曲面の微分幾何（小林昭七著、裳華房）、 Algebraic Topology （W. Fultonn著、Springer-Verlag; 訳本あり）、 幾何学概論（石原繁著、共立出版）
授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters）	遠隔講義(Zoom講義;(WebClass併用)): WebClassには講義資料を置くだけのため使用）で実施します。 詳細は、下の「その他」の項目を参照ください。 1)WebClass コースID: 2) Zoom meetingは保安上, ２回目以降の講義のZoom MeetingのURL, ID, Passcord はすべてWebClassのタイムライン上に掲載します。そのため, 事前にWebClassへの登録が必要です。 WebCLassの登録は、教員が行う設定にしてありますので、参加希望の諸君は, E-mail: kohhei(at)im.uec.ac.jp まで、氏名、学生番号をお知らせください。よろしくお願いします。 詳しくは、下の「その他」の項目で説明します。 3) 授業計画 （あくまで、予定です。参加学生さんの予備知識を見ながら適宜内容の順序を変更するかもしれません） 第１回： 幾何学における不変量とはなにか（幾何学的不変量・微分形式の座標不変性など） 第２回： 平面グラフのオイラー数とオイラーの公式 Euler numbers of graphs and the formula of Euler 第３回： 凸多面体とオイラーの定理 Convex polyhedra and the theorem of Euler 第４回： 閉多面体曲面とオイラー数 Closed surfaces and Euler numbers What is a surface? (Parameter representations, in variance of differential forms 第５回： 第１基本形式（リーマン計量、曲面積） The first fundamental form (Riemann metic, area of surfaces) 第３回： 第１基本形式と地図 The first fundamental form and maps 第６回： 第２期基本形式とガウス曲率・平均曲率 The second fundamental form, Gaussian curvature and mean curvature 第７回： ガウス曲率の計算例 Examples of Gaussian curvatures 第８回： 色々な曲率と曲面の外形 The relation between several curvatures and shape of surfaces 第９回： 主曲率、オイラーの公式 The principal curvature and the formula of Euler 第１０回： 測地線 The geodesics 第１１回： 測地線の例 Examples of geodesics 第１２回： ガウス・ボンネの定理 I Gauss-Bonnet formula, I 第１４回： ガウス・ボンネの定理 II Gauss-Bonnet formula, II 第１５回： 高次元図形（多様体）への拡張 The generalizations to the high dimensional cases (manifolds)
実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience
授業時間外の学習 （予習・復習等）（1,000文字以内） /Preparation and review outside class（up to 1,000 letters）	レポート課題が出されたときは、それで復習してください。
成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters）	授業内容についての幾何学的意味を理解しているかどうかを合格基準として、課題と期末課題レポートによって総合評価する。 The evaluation is based on the level of understanding the meaning of the invariants and their geometrical meaning
オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters）	木曜日３、４時限（詳しいことは事前にメールでアポをとってください）
学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters）	数学が好きな諸君の聴講を期待しますが、数学が得意である必要はありません。 楽しくやりましょう。
その他 /Others	授業形態：遠隔授業(Zoom講義, WebClassの併用）で実施します。 (1) そのため講義受講を希望する諸君は、まず「必ず」 E-mail: kohhei(at)im.uec.ac.jp までメールで氏名、学生番号、E-mailを連絡してください。 （WebClassは教官が登録するようにしてあります） E-mail受診後, WebClassに登録します。 (2) 講義のZoom (URL, ID, Passcord)は、WebClassのタイムライン上に掲載します。そのため事前にWebCLass登録は必要になりますので、必ず、kohhei(at)im.uec.ac.jp までメールで、氏名・学生番号をお知らせください。 (3) 毎回の講義ノート(PDF)はWebClassにおきます。 Zoom meeting (URL, ID, PW)は２回以降はWebClassにおきます。 講義資料(PDF)やZoom meeting(URL, ID, password)はWebClassのタイムライン上にも掲載します。 登録者は少ない場合には、事前に各受講者にE-mailで, Zoom情報を送る可能性もあります。
キーワード /Keywords	曲面 (surface)、第１基本形式 (The first fundamental form)、ガウス曲率 (Gaussian curvature)、第２基本形式 (The second fundamental form)、平均曲率 (mean curvature)、測地線 (geodesics)、オイラーの公式 (The formula of Euler)、ガウス・ボンネの定理 (Theorem of Gauss-Bonnet)、オイラー数 (Euler number)