シラバス参照
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シラバス参照
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| 講義概要/Course Information |
| 科目基礎情報/General Information |
| 授業科目名 /Course title (Japanese) |
代数学特論 | ||
|---|---|---|---|
| 英文授業科目名 /Course title (English) |
Advanced Topics in Algebra | ||
| 開講年度 /Academic year |
2015年度 | 開講年次 /Year offered |
全学年 |
| 開講学期 /Semester(s) offered |
後学期 | 開講コース・課程 /Faculty offering the course |
博士前期課程、博士後期課程 |
| 授業の方法 /Teaching method |
講義 | 単位数 /Credits |
2 |
| 科目区分 /Category |
大学院教養教育科目 | ||
| 開講類・専攻 /Cluster/Department |
全専攻 | ||
| 担当教員名 /Lecturer(s) |
大野 真裕 | ||
| 居室 /Office |
東1-411 | ||
| 公開E-mail |
masahiro-ohno@uec.ac.jp | ||
| 授業関連Webページ /Course website |
なし | ||
| 更新日 /Last update |
2015/03/03 23:31:36 | 更新状況 /Update status |
公開中 /now open to public |
| 講義情報/Course Description |
| 主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters） |
主題：線形代数で学んだように，連立一次方程式は，その方程式系からスカラー倍や加減を繰り返して，1=0という関係式が導かれれば，解を持たず，導かれなければ，解を持つ． では，n変数の一般次数の（つまり次数について何の制限もない）連立方程式は，その方程式系から多項式倍や加減を繰り返して，1=0という関係式が導かれなければ，解を持つだろうか？ 例えば，1変数で実数係数の2次方程式が1個の場合を考えてみると，実数解が方程式によってあったりなかったりして，上記の類似は成り立たない． しかし，求める解の範囲を複素数の集合とするとどうだろうか？ 例えば，1変数で複素数係数のd次方程式1個は，0以外の定数でない限り，複素数解をもつことが知られているので，上記の類似がなりたっていることがわかる． そこで，この状況で，n変数の一般次数の複素数係数の連立方程式について考えてみよう．つまり， 「複素数を係数に持つn変数の一般次数の連立方程式は，その方程式系から多項式倍や加減を繰り返して1=0という関係式が導かれなければ，複素数解を持つか」 という問題を設定してみよう． この問題の答えはYesで，このことは，ヒルベルトの零点定理と呼ばれる． この講義では，ヒルベルトの零点定理の証明とそれに関連した事柄について講義する． 達成目標：ヒルベルトの零点定理を理解し，アフィン代数多様体とその定義イデアルなどについて， 理解することが目標である． |
|---|---|
| 前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters） |
線形代数学第一，第二 |
| 前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters） |
なし |
| 教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters） |
コックス・リトル・オシー共著「グレブナ基底と代数多様体入門（上）」(Springer) |
| 授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters） |
(a) 授業内容 第１回 多項式環とイデアル，方程式系とイデアル 第２回 消去イデアル，消去定理 第３回 拡張定理の主張と意味，いくつかの例 第４回 既約多項式，因数分解の一意性 第５回 終結式 第６回 拡張定理の証明 第７回 ヒルベルトの零点定理（弱形） 第８回 根基イデアル，ヒルベルトの零点定理（強形） 第９回 イデアル-多様体対応 第１０回 位相，ザリスキ位相 第１１回 閉包，ザリスキ閉包，コロンイデアル 第１２回 既約閉集合と素イデアル 第１３回 閉集合の既約閉集合への分解 第１４回 準素イデアル，ラスカー・ネーターの定理 第１５回 総復習 (b) 進め方 板書による． (c) 授業時間外の学習（予習・復習等）予習復習しっかりやってください． |
| 実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience |
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| 成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters） |
評価方法：レポートの出来・提出状況を主に，授業中での発表等を加味して総合的に評価する． 評価基準：ヒルベルトの零点定理の意味を理解し，イデアル-多様体対応やザリスキ位相，既約閉集合，素イデアル等を理解しているかを基準に評価する． |
| オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters） |
火曜5時限としておきますが，会議等で不在の場合もあり得ます． 随時受け付けます． |
| 学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters） |
ヒルベルトの零点定理の証明はいくつかありますが，コックス・リトル・オシーの本に書いてある証明が，予備知識もあまり要らず，比較的とっつきやすい証明ではないかと思います．訳された版の後の英語の版では，拡張定理の証明が改良され簡素化されているので，この部分については英語の新しい版を見ることを勧めます．代数学の基本事項も，適宜，補いながら講義します． |
| その他 /Others |
なし |
| キーワード /Keywords |
終結式，ヒルベルトの零点定理，ザリスキ位相，既約閉集合，素イデアル |