シラバス参照
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シラバス参照
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| 講義概要/Course Information |
| 科目基礎情報/General Information |
| 授業科目名 /Course title (Japanese) |
代数学特論 | ||
|---|---|---|---|
| 英文授業科目名 /Course title (English) |
Advanced Topics in Algebra | ||
| 科目番号 /Code |
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| 開講年度 /Academic year |
2023年度 | 開講年次 /Year offered |
全学年 |
| 開講学期 /Semester(s) offered |
後学期 | 開講コース・課程 /Faculty offering the course |
博士前期課程、博士後期課程 |
| 授業の方法 /Teaching method |
講義 | 単位数 /Credits |
2 |
| 科目区分 /Category |
大学院基礎教育科目 | ||
| 開講類・専攻 /Cluster/Department |
全専攻共通 | ||
| 担当教員名 /Lecturer(s) |
榎本 直也 | ||
| 居室 /Office |
東1-413 | ||
| 公開E-mail |
enomoto-naoya@uec.ac.jp | ||
| 授業関連Webページ /Course website |
https://sites.google.com/site/enomotonaoyalectures/lecture/tokuron-2023 | ||
| 更新日 /Last update |
2023/10/02 17:44:04 | 更新状況 /Update status |
公開中 /now open to public |
| 講義情報/Course Description |
| 主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters） |
「数え上げ組合せ論」 「ある条件を満たすような対象の個数を数えること」をテーマに、カタラン数・ヤング図形・非交差経路・完全マッチング・全域木といったトピックを選んで、「数え上げる」ことの面白さと難しさについて紹介する。こうした対象の個数を数え上げるための道具として、学部一年生で学んだ行列式や固有値の概念を使う。 "Enumerative combinatorics" In this lecture, we introduce a part of enumerative combinatorics. Namely, how to count or list up configurations, for example, paths, Young diagrams, tableaux and graphs satisfying some restricted conditions. That is very interesting problem and applicable to some mathematical physics. But it is often hard to count them directly. We will use the following tools; bijective approach, generating functions, symmetric polynomials, permutations, probabilistic approach and undergraduate linear algebras (for example determinants, cofactor expansions and eigenvalues). |
|---|---|
| 前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters） |
線形代数学第一、第二 （なお、前期開講の代数学基礎論とは独立の内容なので、その知識は仮定しない。） |
| 前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters） |
なし |
| 教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters） |
教科書は指定しない．適宜，プリントなどを配布する． No textbook is specified. Handouts will be distributed as appropriate. 参考書： 高崎金久：「線形代数と数え上げ」（日本評論社） 山田裕史：「組合せ論プロムナード」（日本評論社） 枡田幹也・福川由貴子：「格子から見える数学」（日本評論社） |
| 授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters） |
【英語タイプ】 Cc Type Cc:Lectures and handouts are in Japanese. 【授業内容】 第1回：カタラン数 Catalan number 第2回：母関数 generating function 第3回：ヤング図形と標準盤 Young diagram and standardtableaux 第4回：標準盤の個数を与えるフック公式 Hook formula for the number of standard tableaux 第5回：対称多項式と半標準盤 Symmetric polynomial and semistandard tableaux 第6回：置換 Permutation 第7回：行列式とシューア多項式 Determinant and Schur symmetric polynomial 第8回：シューア多項式の行列式表示-ヤコビ・トゥルーディーの公式- Jacobi-Trudi formula 第9回：ワイルの指標公式と次元公式 Weyl character formula and dimension formula 第10回：コストカ数とリトルウッド・リチャードソン係数 Kostka number and Littlewood-Richardson coefficient 第11回：線形代数の復習-余因子展開と固有値- Reminder on linear algebras -cofactor expansion and eigenvalue- 第12回：グラフとその用語 Some definition and examples on graphs 第13回：全域木と完全マッチングの数え上げ Counting on spanning tree and perfect maching 第14回：全域木と完全マッチングのテンパリー対応 Temperley's bijection between spanning trees and perfect matchings 第15回：統計物理への応用 Application to statistical mechanics 予備知識は、上にもあるように行列式や固有値の話に触れたことがある程度しか仮定しない。 As for background knowledge, I assume only some familiarity with determinants and eigenvalues, as mentioned above. 進め方 板書やスライドを用いる。 Using black board and slides. |
| 実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience |
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| 授業時間外の学習 （予習・復習等）（1,000文字以内） /Preparation and review outside class（up to 1,000 letters） |
各回ごとに内容の復習や自分の手で例を計算してみることで理解が深められる。 You can deepen your understanding by reviewing the contents of each lesson and calculating examples with your own hands. |
| 成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters） |
評価方法 レポート問題を解いて提出してもらうことにより評価する。 The evaluations is based on reports. 評価基準 (i) 講義で紹介する数え上げの手法（全単射・対称多項式と置換・グラフと線形代数など）について，対応する具体的な事例について適用できること． (ii) 講義中の証明や議論のいくつかを自分の手で補いながら完成させ，その内容について説明できること. この2点を基準とし，レポートの内容を評価する． (i) To be able to apply the enumeration techniques introduced in the lectures (bijection, symmetric polynomials and permutations, graphs and linear algebra, etc.) to corresponding concrete examples. (ii) To complete some of the proofs and arguments given in the lecture with their own hands, and be able to explain the content. The content of the report is evaluated based on these criteria. |
| オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters） |
なるべく講義終了後にその場で質問してください。もし必要がある場合にはメールで事前に予約してください。 If possible, ask questions on the spot after the lecture, or if necessary, ask by e-mail. |
| 学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters） |
学部までに学習したり利用してきた数学とは少し違った趣で、「個数を数える」ということの中に現れる数学的な構造についてできるだけわかりやすく紹介するつもりである。 I intend to introduce the mathematical structure that appears in "counting" in a way that is slightly different from the mathematics that I have studied and used up until the undergraduate level. |
| その他 /Others |
なし |
| キーワード /Keywords |
数え上げ組合せ論(enumerative combinatorics)、行列式(determinant)、固有値(eigenvalue)、シューア多項式(Schur polynomial)、ヤング図形(Young diagram)、完全マッチング(perfect matching)、全域木(spanning tree)、カタラン数(Catalan number) |