シラバス参照
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シラバス参照
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| 講義概要/Course Information |
| 科目基礎情報/General Information |
| 授業科目名 /Course title (Japanese) |
現代数学入門Ｂ | ||
|---|---|---|---|
| 英文授業科目名 /Course title (English) |
Introduction to Modern Mathematics B | ||
| 科目番号 /Code |
MTH302z | ||
| 開講年度 /Academic year |
2024年度 | 開講年次 /Year offered |
2/3/4 |
| 開講学期 /Semester(s) offered |
前学期 | 開講コース・課程 /Faculty offering the course |
情報理工学域 |
| 授業の方法 /Teaching method |
講義 | 単位数 /Credits |
2 |
| 科目区分 /Category |
総合文化科目 | ||
| 開講類・専攻 /Cluster/Department |
情報理工学域 | ||
| 担当教員名 /Lecturer(s) |
大野 真裕 | ||
| 居室 /Office |
東1-411 | ||
| 公開E-mail |
masahiro-ohno@uec.ac.jp | ||
| 授業関連Webページ /Course website |
なし | ||
| 更新日 /Last update |
2024/03/10 15:26:52 | 更新状況 /Update status |
公開中 /now open to public |
| 講義情報/Course Description |
| 主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters） |
主題：本講義では，線形代数学第二の続きとして，群，環，体，群の作用という代数学の基本的概念の重要性を学ぶ． 達成目標：線形代数学第二に現れた各種概念を一般化して，代数学での枠組みで理解しなおすとともに，一般化した枠組みでの自由さと奥深さ，応用での見通しの良さを知ることにより，本格的に群，環，体などの一般論をさらに勉強してみたいと思うようになるのが目標である． |
|---|---|
| 前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters） |
線形代数学第一，線形代数学第二 |
| 前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters） |
数学演習第一，数学演習第二，微分積分学第一，微分積分学第二 |
| 教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters） |
教科書なし． 参考書なし． |
| 授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters） |
(a)授業内容 第1回： 集合の記法，直積集合，対応とそのグラフ，写像，定義域，終域，写像の像（値域），線形代数の復習（全射，単射，全単射，合成写像，恒等写像，逆写像），2項演算，積，結合法則，半群，単位元，単位元の一意性，モノイド，集合XからXへの写像全体の集合はモノイド，逆元，逆元の一意性，単元（可逆元），単元群，群，n次対称群， 第2回：交換法則，可換群，アーベル群，加（法）群，和，零元，乗法群，ベクトル空間は加法群，モノイドの準同型写像，群の準同型写像，線形写像は群の準同型写像，準同型写像の性質，準同型写像の像と核，部分群，逆像，正規部分群， 第3回：群の準同型写像が単射であるための条件，群の同型写像，同型写像の逆写像は同型写像 nを法とした合同関係，関係，同値関係，同値類，代表元，同値類別，べき集合，商集合 第4回：部分群を法とした左（右）合同関係，正規部分群を法とした合同関係，左（右）剰余類，左（右）剰余類分解，左（右）完全代表系，左（右）商集合，集合の濃度，有限群，群の位数，部分群の指数，部分群の位数に関するLagrangeの定理， 第5回：nを法とした合同関係と加法，正規部分群を法とした合同関係と乗法，剰余（類）群，代表元の取り方によらずに積が定まる，積がWell-defined，群の準同型定理， 第6回：加法群の自己準同型環，環の定義，分配法則，可換環，有理整数環，(可換)体，有理数体，実数体，複素数体，n変数多項式環，環の準同型写像，代入写像，環の同型，環の準同型写像の像と核，部分環と両側イデアル． 第7回：nを法とした合同関係と乗法，両側イデアルを法とした合同関係と乗法，代表元の取り方によらずに積が定まる，積がWell-defined，剰余環，環の準同型定理， 第8回：加法群は自己準同型環上の左加群，環上の(左)加群，体上のベクトル空間，環上の(左)加群であることの環の準同型を使った言いかえ，係数環の制限，１つの線形写像に注目したベクトル空間は１変数多項式環上の加群とみなせる．ケーリー・ハミルトンの定理， 第9回：単項イデアル，単項イデアル環，１変数多項式環は単項イデアル環，線形写像の最小多項式，ユークリッドの互除法，分解定理， 第10回：広義固有空間分解，有限次元ベクトル空間のスペクトル分解とその応用例， 第11回：部分体と拡大体，n変数有理関数体，元を添加して得られる体，単拡大と体上の既約多項式， 第12回：根と係数の関係，基本対称式，対称式の基本定理，３次方程式の解法，一般の3次方程式の分解方程式の根の対称性， 第13回：n次対称群のn変数有理関数体への作用，群の集合への作用，固定化群と軌道，体K上共役な根，共役な部分群，分解体，正規部分群と正規拡大体， 第14回：まとめと復習 第15回：定期試験とその解説 なお，履修者の様子によって，取り上げる内容を，より精選する場合がある． (b) 授業の進め方 板書による講義． |
| 実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience |
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| 授業時間外の学習 （予習・復習等）（1,000文字以内） /Preparation and review outside class（up to 1,000 letters） |
一所懸命にノートを取り，そのノートをよく復習してください．そのうえで，わからないところがあれば質問することが大事です．定着をはかるためには，折に触れ，内容を反芻すると良いでしょう． |
| 成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters） |
(a) 評価方法 対面の期末試験とレポートの提出状況と出来で評価する． (b) 評価基準 簡単な代数系の証明がかける，群，環，体などの基本的代数系を識別できる，各種概念の定義を書いたり対象を識別できる，写像がWell-definedであることの証明が書ける，準同型定理が理解できている，ことなどを合格の基準とする． |
| オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters） |
随時受け付ける． |
| 学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters） |
今年度は，群，環，体や，環上の加群などの基本的代数系を，同値関係による商集合や準同型定理に重きを置きつつ，標準的な順序で取り上げることにしてみました．途中で，係数環を体から一変数多項式環に拡張したことによる，ご利益がわかるような例を取り上げる予定なので，そこのところで，多少なりとも有難味がわかってもらえれば，と思います．その他，準同型定理は，きっちりマスターしておくと，今後の基礎になり有用かと思います．教養科目として，基礎的部分の全体像をお伝えする感じになっていますが，中身もかなり詰まっているので，しっかり取り組まれることを期待します． |
| その他 /Others |
なし |
| キーワード /Keywords |
群，環，体，群の作用， |