シラバス参照
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シラバス参照
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| 講義概要/Course Information |
| 科目基礎情報/General Information |
| 授業科目名 /Course title (Japanese) |
幾何学特論 | ||
|---|---|---|---|
| 英文授業科目名 /Course title (English) |
Advanced Topics of Geometry | ||
| 科目番号 /Code |
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| 開講年度 /Academic year |
2024年度 | 開講年次 /Year offered |
全学年 |
| 開講学期 /Semester(s) offered |
後学期 | 開講コース・課程 /Faculty offering the course |
博士前期課程、博士後期課程 |
| 授業の方法 /Teaching method |
講義 | 単位数 /Credits |
2 |
| 科目区分 /Category |
大学院基礎教育科目 | ||
| 開講類・専攻 /Cluster/Department |
全専攻共通 | ||
| 担当教員名 /Lecturer(s) |
丸亀 泰二 | ||
| 居室 /Office |
東1-505 | ||
| 公開E-mail |
marugameアットマークuec.ac.jp | ||
| 授業関連Webページ /Course website |
なし | ||
| 更新日 /Last update |
2024/02/29 14:34:38 | 更新状況 /Update status |
公開中 /now open to public |
| 講義情報/Course Description |
| 主題および 達成目標（2,000文字以内） /Themes and goals（up to 2,000 letters） |
(a)主題 この講義では，3次元ユークリッド空間内の曲面の微分幾何に関する入門的内容を扱う．曲面に定まる計量構造(第一基本形式)や，ユークリッド空間内での曲がり具合を表す第二基本形式を導入し，種々の曲率量を定義する．特に，ガウス曲率が第一基本形式のみから決まる内在的な曲率量であること示すガウスの驚異の定理によって，なぜ地球表面の正確な地図(等長地図)を作ることはできないのかが説明される．また，ガウス曲率の積分を曲面の大域的な形状に結び付けるガウス・ボンネの定理を証明する． (b)達成目標 第一基本形式や曲率がもつ幾何的な意味を説明でき，さらに具体的な曲面に対してそれらを計算できるようになることを目指す． (a)Topic This lecture deals with introductory topics on differential geometry of surfaces in the 3-dimensional Euclidean space. We introduce the metric structure of surfaces (the first fundamental form) and the second fundamental form, which describes how the surface curves in the Euclidean space, and define various curvature quantities by using them. In particular, we prove Gauss's Theorema Egregium, which asserts that the Gaussian curvature is an intrinsic quantity determined only by the first fundamental form, and explain why we cannot make a precise (isometric) map of Earth's surface. We also give a proof of the Gauss-Bonnet theorem, which connects the total integral of the Gaussian curvature to global topology of the surface. (b)Goal The goal is to learn to explain geometric meanings of the first fundamental form and curvature quantities, and compute them for various examples. |
|---|---|
| 前もって履修 しておくべき科目（1,000文字以内） /Prerequisites（up to 1,000 letters） |
微分積分学第一・第二，線形代数学第一・第二，解析学 Calculus I, II, Linear Algebra I, II, Analysis |
| 前もって履修しておくこ とが望ましい科目（1,000文字以内） /Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters） |
幾何学概論 Introduction to Geometry |
| 教科書等（1,000文字以内） /Course textbooks and materials（up to 1,000 letters） |
参考書 Reference books： 梅原雅顕・山田光太郎 著 「曲線と曲面(改訂版)」(裳華房), 小林昭七 著 「曲線と曲面の微分幾何(改訂版)」(裳華房) |
| 授業内容と その進め方（2,000文字以内） /Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters） |
英語タイプ（Cb）により講義を実施 Type（Cb): Japanese-based course with Japanese and English materials (a)授業内容 Course outline 第1回: 内容紹介，曲面のパラメータ表示と座標変換 第2回: 第一基本形式(リーマン計量) 第3回: 曲面上の曲線の長さ，曲面の面積 第4回: 第一基本形式の計算例 第5回: 第二基本形式と種々の曲率量(主曲率・ガウス曲率・平均曲率) 第6回: 曲率の幾何的意味 第7回: 第二基本形式と曲率の計算例 第8回: ガウスの驚異の定理 第9回: 曲面上の測地線 第10回: 測地線の計算例 第11回: 測地的極座標 第12回: 測地三角形に対するガウス・ボンネの定理 第13回: 閉曲面のオイラー数 第14回: 閉曲面に対するガウス・ボンネの定理 第15回: 曲面論のまとめと補足 1: Introduction, Parametrizations of a surface and coordinate transformations 2: The first fundamental form (Riemannian metrics) 3: The length of curves on a surface, The area of a surface 4: Examples of computation of the first fundamental form 5: The second fundamental form and various curvatures (the principal curvatures, the Gaussian curvature, the mean curvature) 6: Geometric meanings of the curvatures 7: Examples of computation of the second fundamental form and the curvatures 8: Gauss's Theorema Egregium 9: Geodesics on a surface 10: Examples of computation of geodesics 11: The geodesic polar coordinates 12: The Gauss-Bonnet theorem for geodesic triangles 13: The Euler characteristic of a closed surface 14: The Gauss-Bonnet theorem for closed surfaces 15: Summary and supplement for the surface theory (b)授業の進め方 Lecture style 授業は板書により進められる． I will use blackboard. |
| 実務経験を活かした 授業内容 (実務経験内容も含む) /Course content utilizing practical experience |
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| 授業時間外の学習 （予習・復習等）（1,000文字以内） /Preparation and review outside class（up to 1,000 letters） |
毎回の授業内容をよく復習してください． Reviewing each class is highly recommended. |
| 成績評価方法 および評価基準 （最低達成基準を含む） （1,000文字以内） /Evaluation and grading （up to 1,000 letters） |
(a)成績評価方法 Grading 成績評価はレポートによる． The grade will be assigned based on report(s). (b)評価基準 Evaluation standard 曲率の幾何的な意味が説明でき，具体例に対して計算ができるかどうかを評価する． You need to be able to explain geometric meanings of the curvature and learn to compute examples. |
| オフィスアワー： 授業相談（1,000文字以内） /Office hours（up to 1,000 letters） |
毎回の授業の後，またはメールでアポイントメントをとって質問してください． Ask questions after each class or make an appointment by email. |
| 学生へのメッセージ（1,000文字以内） /Message for students（up to 1,000 letters） |
曲面論はあまり予備知識の必要ないトピックなので，幾何に興味があれば楽しめると思います． The surface theory does not require much prerequisite, so it will be fun if you are interested in geometry. |
| その他 /Others |
なし. None. |
| キーワード /Keywords |
曲面，第一・第二基本形式，主曲率，ガウス曲率，平均曲率，測地線，ガウス・ボンネの定理 surface, the first and second fundamental forms, the principal curvature, the Gaussian curvature, the mean curvature, geodesic, the Gauss-Bonnet theorem |