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講義概要/Course Information
2025/04/27 現在

科目基礎情報/General Information
授業科目名
/Course title (Japanese)		 解析学特論
英文授業科目名
/Course title (English)		 Advanced Topics in Analysis
科目番号
/Code
開講年度
/Academic year		 2024年度 開講年次
/Year offered		 全学年
開講学期
/Semester(s) offered		 後学期 開講コース・課程
/Faculty offering the course		 博士前期課程、博士後期課程
授業の方法
/Teaching method		 講義 単位数
/Credits		 2
科目区分
/Category		 大学院基礎教育科目
開講類・専攻
/Cluster/Department		 全専攻共通
担当教員名
/Lecturer(s)		 齋藤　平和
居室
/Office		 東1-503
公開E-mail
/e-mail		 hsaito@uec.ac.jp
授業関連Webページ
/Course website		 なし
更新日
/Last update		 2024/03/04 19:52:54 更新状況
/Update status		 公開中
/now open to public
講義情報/Course Description
主題および
達成目標（2,000文字以内）
/Themes and goals（up to 2,000 letters）		 【主題】
本講義では，物理現象を記述する偏微分方程式の導出や数学理論を学びます．偏微分方程式の具体的な例としては，

・物質中の伝熱現象を記述する熱伝導方程式
・音波や電磁波などの様々な波動現象を記述する波動方程式
・水や空気といった流体の運動を記述するナヴィエ・ストークス方程式

などが挙げられます．偏微分方程式の数学理論では，フーリエ級数を用いて，

・偏微分方程式の解を求める方法
・偏微分方程式の解の安定性や不安定性を調べる方法

について学びます．

【達成目標】
(1) 物理現象を記述する偏微分方程式の導出について理解する．
(2) フーリエ級数の収束について理解する．
(3) フーリエ級数を用いて偏微分方程式の解を求めることができるようになる．
(4) フーリエ級数を用いて解の安定性や不安定性について調べることができるようになる．

[Topic]
In this lecture, we learn derivation and mathematical theory of partial differential equations arising from physics as follows:
(a) heat equation;
(b) wave equation;
(c) Navier-Stokes equations.

[Goals]
(1) Understand derivation of partial differential equations arising from physics.
(2) Understand convergence of Fourier series.
(3) Understand how to obtain solutions of partial differential equations by Fourier series.
(4) Understand how to prove stability or instability by Fourier series.
前もって履修
しておくべき科目（1,000文字以内）
/Prerequisites（up to 1,000 letters）		 微分積分学第一，同第二，線形代数学第一，同第二，解析学
Calculus I, II; Linear Algebra I, II; Analysis
前もって履修しておくこ
とが望ましい科目（1,000文字以内）
/Recommended prerequisites and preparation（up to 1,000 letters）		 複素関数論，現代数学入門A
Complex Analysis, Introduction to Modern Mathematics A
教科書等（1,000文字以内）
/Course textbooks and materials（up to 1,000 letters）		 講義中に紹介する．
They are introduced during the lecture.
授業内容と
その進め方（2,000文字以内）
/Course outline and weekly schedule（up to 2,000 letters）		 (a) 授業の内容
第１回：イントロダクション
第２回：関数列の収束
第３回：熱方程式とフーリエの方法
第４回：フーリエ級数展開
第５回：フーリエ級数の収束
第６回：熱方程式のフーリエ級数解
第７回：レポート１
第８回：ナヴィエ・ストークス方程式の導出
第９回：ナヴィエ・ストークス方程式の境界条件
第１０回：ナヴィエ・ストークス方程式の厳密解
第１１回：線形化方程式のフーリエ級数解
第１２回：安定性の解析
第１３回：不安定性の解析
第１４回：まとめ
第１５回：レポート２

1. Introduction
2. Convergence of sequences of functions
3. Heat equation and Fourier method
4. Fourier series expansion
5. Convergence of Fourier series
6. Fourier series solution to heat equation
7. Report 1
8. Derivation of Navier-Stokes equations
9. Boundary conditions of Navier-Stokes equations
10. Exact solutions to Navier-Stokes equations
11. Fourier series solution to linearized equations
12. Stability analysis
13. Instability analysis
14. Summary
15. Report 2

(b) 授業の進め方
板書により進める．
Blackboard
実務経験を活かした
授業内容
(実務経験内容も含む)
/Course content utilizing practical experience
授業時間外の学習
（予習・復習等）（1,000文字以内）
/Preparation and review outside class（up to 1,000 letters）		 各講義の板書を何も見ずに手と頭で再現することを目標としてください．
Let us aim to reproduce the board book of each lecture with hands and head without seeing anything.
成績評価方法
および評価基準
（最低達成基準を含む）
（1,000文字以内）
/Evaluation and grading
（up to 1,000 letters）		 成績評価はレポートによる．フーリエ級数を用いて，偏微分方程式の解を書くことができるかどうかを評価する．
Reports are assigned. You need to solve partial differential equations by Fourier series.
オフィスアワー：
授業相談（1,000文字以内）
/Office hours（up to 1,000 letters）		 授業の前後に対応します．それ以外の時間の相談を希望する場合は，事前にEメール等で予約して下さい．
Before or after the class. If you wish to consult any other time, please make an appointment by E-mail beforehand.
学生へのメッセージ（1,000文字以内）
/Message for students（up to 1,000 letters）		 偏微分方程式を通して物理現象を理解することの面白さを体感してほしいと思います．
I hope that you will enjoy understanding physical phenomena via partial differential equations.
その他
/Others		 この科目は隔年開講です．
This lecture will be held every other year.
キーワード
/Keywords		 偏微分方程式，フーリエ級数
Partial differential equations, Fourier series